1. 事件运算与补事件
事件就是一组可能结果。并集表示“至少有一个发生”，交集表示“同时发生”，补集表示“不发生”。题目出现“至少一个”时，直接分类往往很乱；如果它的反面只有一种情况，就先算反面再用一减。
固定步骤：先把中文改写成事件；再判断能否使用补事件；最后使用加法公式或组合计数。
常见错误：互斥与独立完全不同。互斥表示不能同时发生，独立表示一个事件不改变另一个事件的概率。
不是“先学完再做题”，而是每学一点就立刻得分
每张卡只做四件事：读懂直觉 → 记住最少公式 → 独立做微题 → 展开答案核对。做对就勾选，做错只回看这一张卡。A 级是三年试卷反复出现的稳定得分区，时间紧时先过滤到“A 级抢分”。
看直觉先知道它在算什么
认符号能读懂题目语言
做微题只考当前一个点
对答案补上缺失的那一步
进入下一点不在难题上死磕
先修关系图：你应该按箭头学
点击图中的大节点可跳到对应模块。红底节点是最稳定的高分来源；“变量函数”和“证明题”放在最后，因为它们依赖前面多个节点。
A：三年稳定高频，先拿B：常考但更费时C：最后冲刺
40–50 分不是靠做完全部题，而是守住四块稳定分数
三套期中卷的分值结构并不完全相同，但稳定重复的是客观题、全概率与贝叶斯、一维连续型随机变量、离散或二维联合分布。下面的目标是“可执行的得分模型”，不是对考试结果的承诺。只有在你能独立完成对应的最低检查题时，这个分数区间才有现实基础。
15–24客观题：事件、分布律、常见分布、基本性质
8–13全概率与贝叶斯：完整拿下一道稳定大题
8–12一维连续：归一化、区间概率、分布函数
4–8联合分布：先拿常数、边缘分布和步骤分
达标判据：不是“我看懂了”，而是关闭答案后，能够独立完成 A 级卡片的 80%，并在任意一套往年卷中做出全概率题、一维连续题，以及二维题的前两问。达不到这个检查标准时，不能把 40–50 分当成已经获得。
事件翻译、组合与条件概率卡片 0-2、0-4、1-1 至 1-5
最低练习：习题 1.1、1.5、1.8、1.9、2.2、2.6。
全概率与贝叶斯卡片 1-6、1-7、概率树
最低练习：习题 2.8、2.9，2024 年第二题，2025 年第 13 题。
离散分布与二维表格卡片 2-1 至 2-7
最低练习：习题 3.1、3.3、3.6、4.5，以及 2024 年第 8 小题。
一维连续型随机变量卡片 3-1 至 3-8
最低练习：习题 4.7、4.8、4.9、5.1、5.2、5.5、5.6，2025 年第 14 题。
二维连续型随机变量卡片 4-1 至 4-6
最低练习：习题 6.1、6.3、6.4、6.5、6.7，2024 年第五题。
变量函数与卷积卡片 3-9、4-7、5-1
最低练习：习题 7.1、7.2、7.3。时间不足时先放弃证明题。
往年卷客观题限时回收先做 2025，再做 2024
每题最多 3 分钟；不会就标记，做完后按知识点返回对应卡片。
八个必须真正理解的解题模板
下面不是公式清单，而是你遇到题目时应当怎样思考。先读完对应模板，再进入后面的微型卡片和完整题库。每个模板都用完整步骤说明“为什么这样做、先写什么、怎样拿步骤分”。
2. 条件概率与乘法公式
“已知 B 已经发生”意味着样本空间被缩小到 B，所以条件概率的分母一定是 P(B)。乘法公式只是把条件概率移项，它描述一条连续路径的概率。
固定步骤：圈出“已知”后面的条件事件；写出 P(A|B)=P(AB)/P(B)；如果是分阶段过程，则按发生顺序把路径概率相乘。
常见错误：把 P(A|B) 与 P(B|A) 当成同一个数。贝叶斯题正是利用两者一般不相等。
3. 全概率与贝叶斯
全概率是“从不同来源到达同一结果”。贝叶斯是“已经看见结果，再判断最可能来自哪个来源”。两者通常在同一道大题中连续出现。
固定步骤：先定义来源 B₁、B₂……和结果 A；画概率树；每条路径相乘并相加得到 P(A)；最后用指定路径概率除以 P(A)。
常见错误：贝叶斯公式的分母没有先用全概率算完整，或者遗漏某个能够产生结果 A 的来源。
4. 离散分布与二维表格
离散随机变量的全部信息都在概率表中。未知常数由所有概率之和等于一得到；边缘分布是按行或按列求和；条件分布是目标格除以条件所在行或列的总和。
固定步骤：先检查非负与总和为一；再补齐行和、列和；最后按“联合是否等于两个边缘的乘积”判断独立。
常见错误：只检查一格相等就宣布独立。找到一格不相等可以否定独立，但要证明独立必须检查所有可能取值。
5. 密度、概率与分布函数
密度曲线的高度不是概率，区间下方的面积才是概率。分布函数 F(x) 表示从最左边累计到 x 的总面积，因此它必须从零上升到一，而且不会下降。
固定步骤：先写支持区间；用总积分等于一求常数；在目标区间积分求概率；从负无穷积分到 x 得到分段的 F(x)。
常见错误：忘记写支持区间外的 0 和 1，或者把连续型随机变量的单点概率当成密度值。
6. 常见分布与正态标准化
二项分布用于固定次数的独立重复试验；泊松分布用于单位时间或区域内的稀有事件计数；均匀分布只看长度比例；指数分布用于等待时间；正态分布围绕均值对称。
固定步骤：先识别题目属于哪种情境；写出参数；再代入概率公式。正态分布必须先做 Z=(X-μ)/σ，并注意 N(μ,σ²) 的第二个参数是方差。
常见错误：把方差 σ² 直接当作标准差 σ 使用，或者把“第 n 次恰好第 r 次成功”误当成普通二项概率。
7. 二维连续分布
二维题的难点不是二重积分本身，而是积分区域。联合密度只在支持域内有效；边缘密度等于沿另一个方向把联合密度累加完。
固定步骤：第一行画支持域；第二行用二重积分等于一求常数；第三行固定 x 或 y 写出边缘积分；第四行再处理区域概率、条件密度或独立性。
常见错误：不画图就写上下限。三角形、梯形区域一旦换积分次序，上下限通常必须改变。
8. 变量函数与和的分布
新变量 Y=g(X) 的取值范围往往会改变。单调变换可以使用反函数公式；平方、绝对值等非单调变换更稳妥的方法是先求 F_Y(y)=P(g(X)≤y)，再求导。两个独立变量的和可以使用卷积。
固定步骤：先确定新变量的可能范围；把 Y≤y 翻译为关于 X 的事件；求出分布函数后再求导。求 X+Y 时，先画直线 x+y=z 与支持域的交段。
常见错误：平方变换只保留正根，或者卷积时积分区间没有同时满足 x 与 z-x 的支持范围。
COMPLETE SOURCE BANK
习题 1–7 与三套往年卷完整原题库
这里保留原 PDF 页面，不对题目进行删减或改写。习题册第 1–16 页覆盖习题 1–7，并额外包含两套章节测验；往年卷包含 2023、2024、2025 三套完整试题。点击任意页面可以按原尺寸打开。
26 页完整原题页面
习题一：随机事件及其概率和性质
共 1.1–1.10，覆盖事件关系、事件表示、加法公式、不放回抽样、概率上下界。原题位于习题册第 1–2 页。
习题二：古典概型、条件概率及独立性
共 2.1–2.10，覆盖组合计数、条件概率、全概率、贝叶斯和事件独立性。原题位于第 3–4 页。
习题三：离散型随机变量及其分布
共 3.1–3.8，覆盖几何/负二项、二项、泊松、联合分布与条件分布。原题位于第 5–6 页。
习题四：离散独立性、函数分布与连续型入门
共 4.1–4.9，覆盖独立性、离散变量函数、分布函数、密度归一化与由密度求分布函数。原题位于第 7–8 页。
章节测验：随机事件与离散分布
第 9–10 页包含填空、选择和计算题，可作为第一轮学习后的自测。
习题五：一维连续型随机变量
共 5.1–5.8，覆盖指数、均匀、正态、混合分布、条件概率与全概率。原题位于第 11–12 页。
习题六：二维连续型联合、边缘与独立性
共 6.1–6.8，覆盖二维均匀分布、联合分布函数、边缘密度、区域概率、条件密度和独立性。原题位于第 13–14 页。
习题七：连续变量函数与数学期望 I
共 7.1–7.8，覆盖单调变换、卷积、和的密度，以及期望的基础内容。原题位于第 15–16 页；若期中范围不含期望，7.4–7.8 可最后处理。
分类方式：109 道主编号原题已经拆成独立题卡，并放到上方相应知识点的“对应原题题库”中。一道综合题如果同时考查多个知识点，会在相关知识点下重复出现；这里继续保留完整原页，作用是核对上下文、表格和原始排版。
停止规则：一道 A 级题看完答案后仍不会，不要反复磨 20 分钟。把它标记出来，继续下一卡；走完整条 A 级路线后再二刷。考试分数最大化靠的是覆盖率，不是把一道难题研究到完美。